दशमलव और भिन्न (Decimal and Fractions) को समझें बिना किसी उलझन के
अक्सर छात्र इन्हें देखकर घबरा जाते हैं या कैलकुलेशन में गलती कर बैठते हैं। लेकिन सच कहूँ तो अगर इसका मूल कॉन्सेप्ट समझ आ जाए, तो यह गणित का सबसे आसान और स्कोरिंग हिस्सा बन जाता है।
आज इस लेख में हम इन दोनों टॉपिक को बिल्कुल ज़ीरो लेवल से और व्यावहारिक उदाहरणों के साथ समझेंगे।
1. भिन्न (Fraction) क्या है?
सरल शब्दों में कहें तो, जब हम किसी एक पूरी चीज़ को कुछ बराबर हिस्सों में बाँटते हैं, तो उसके एक या कुछ हिस्सों को दिखाने के लिए भिन्न का इस्तेमाल किया जाता है।जैसे: अगर आपके पास 1 रोटी है और आप उसे 4 बराबर टुकड़ों में बाँटकर 1 टुकड़ा खा लेते हैं, तो आपने 1/4 (एक चौथाई) हिस्सा खाया।
भिन्न को हमेशा दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है:
• अंश (Numerator): ऊपर लिखी जाने वाली संख्या, जो यह बताती है कि हम कितने हिस्सों की बात कर रहे हैं।
• हर (Denominator): नीचे लिखी जाने वाली संख्या, जो यह बताती है कि कुल कितने बराबर हिस्से किए गए थे।
उदाहरण: 3/5 में 3 'अंश' है और 5 'हर' है।
भिन्न के मुख्य प्रकार:
• उचित भिन्न (Proper Fraction): इसमें अंश हमेशा हर से छोटा होता है। इसका मान हमेशा 1 से कम होता है। उदाहरण: 2/5, 3/7, 8/11• अनुचित भिन्न (Improper Fraction): इसमें अंश, हर से बड़ा या उसके बराबर होता है। इसका मान 1 या 1 से ज़्यादा होता है। उदाहरण: 7/4, 9/5, 12/5
• मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction): इसमें एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न जुड़ी होती है। उदाहरण: 2 सही 1/3 (जिसे हम 7/3 भी लिख सकते हैं)
2. दशमलव (Decimal) क्या है?
दशमलव भी भिन्न को ही दिखाने का एक दूसरा तरीका है। जब किसी भिन्न का हर 10, 100, 1000 जैसी संख्याएँ होती हैं, तो उसे दशमलव बिंदु (.) लगाकर लिखना ज़्यादा आसान हो जाता है।उदाहरण:
• 1/10 को हम 0.1 लिखते हैं।
• 5/100 को हम 0.05 लिखते हैं।
दशमलव को भिन्न में कैसे बदलें?
दशमलव को भिन्न में बदलना बहुत आसान है।
• दशमलव बिंदु को हटा दें।
• बिंदु के बाद जितने अंक हैं, नीचे 1 के आगे उतने ही शून्य (0) लगा दें।
• अगर संख्या कटती है, तो उसे काटकर छोटा कर लें।
उदाहरण: 0.75 को भिन्न में बदलें।
• दशमलव हटाने पर: 75/100
• 25 से काटने पर: 3/4
• उत्तर: 3/4
3. परीक्षा में पूछे जाने वाले महत्वपूर्ण नियम और ट्रिक्स
नियम 1: भिन्नों की तुलना (कौन सा भिन्न बड़ा है?)
कॉम्पिटिटिव एग्जाम में अक्सर 3-4 भिन्न देकर पूछा जाता है कि इनमें से सबसे बड़ा या सबसे छोटा भिन्न कौन सा है।ट्रिक (तिर्यक गुणा विधि / Cross Multiplication):
मान लीजिए हमें 3/5 और 4/7 में पता करना है कि कौन सा बड़ा है।
• पहले भिन्न के अंश (3) का गुणा दूसरे भिन्न के हर (7) से करें: 3 x 7 = 21
• दूसरे भिन्न के अंश (4) का गुणा पहले भिन्न के हर (5) से करें: 4 x 5 = 20
• अब 21 और 20 में तुलना करें। चूँकि 21 बड़ा है, इसलिए पहला भिन्न यानी 3/5 बड़ा होगा।
4. परीक्षा के लिए मॉडल प्रश्न (Exam Questions)
प्रश्न 1: (जोड़ और घटाव आधारित)
3/4 + 5/6 - 1/2 का मान क्या होगा?
हल:
• सबसे पहले हर (4, 6 और 2) का LCM निकालें। 4, 6 और 2 का LCM = 12 होगा।
• अब सभी भिन्नों के हर को 12 बनाएँ:
• (3 x 3) / 12 = 9/12
• (5 x 2) / 12 = 10/12
• (1 x 6) / 12 = 6/12
• अब इन्हें जोड़ें और घटाएँ: (9 + 10 - 6) / 12 = 13/12
उत्तर: 13/12 (या 1 सही 1/12)
प्रश्न 2: (इबारती/Word Problem)
एक व्यक्ति अपनी आय का 1/3 भाग भोजन पर और 1/4 भाग मकान के किराये पर खर्च करता है। यदि उसके पास अभी भी 5000 रुपये बचे हैं, तो उसकी कुल आय कितनी है?
हल:
• कुल खर्च निकालें: 1/3 + 1/4 = (4 + 3) / 12 = 7/12 भाग
• मान लेते हैं कि कुल आय 1 (या पूरा भाग) है। बचत भाग = 1 - 7/12 = 5/12 भाग
• प्रश्न के अनुसार, 5/12 भाग = 5000 रुपये तो कुल आय (1 भाग) = (5000 x 12) / 5 कुल आय = 1000 x 12 = 12000 रुपये
उत्तर: व्यक्ति की कुल आय 12,000 रुपये है।
महत्वपूर्ण बातें (Quick Summary)
• किसी भी भिन्न में अंश को हर से भाग देने पर दशमलव प्राप्त होता है।
• भिन्नों का जोड़ या घटाव करते समय हमेशा हर (Denominator) का LCM लेना न भूलें।
• दशमलव संख्याओं का गुणा करते समय अंत में दशमलव के कुल अंकों को जोड़कर उत्तर में दशमलव लगाएँ।
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RAJAN
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